пример на прозрачной доске видео урок по Геометрии

"Готовы, да? Наконец, третья опорная задача звучит следующим образом: угол между плоскостями, равен углу между перпендикулярными им прямыми. Формулировка совершенно замечательная, потому что она вопрос трудный, угол между плоскостями, сводит к вопросу гораздо более простому, угол между прямыми. Давайте нарисуем чертежик, который пояснит почему так получается. Вот у нас имеется двугранный угол. Нарисую-ка я линейный угол этого двугранного угла. Вот он. Что произойдет, если я возьму и проведу к этим плоскостям перпендикулярные прямые? Давайте, я их проведу вот в этих точках, которые отметил. Понятно, что эти две прямые будут лежать в плоскости треугольника. Вот что у нас получится. Эта точка тоже лежит в плоскости. Ну скажем, если это точка А, это точка К, это точка L, то точка М лежит в плоскости AKL. Ну и что? У нас образовался четырехугольник, у которого вот эти углы прямые. А что это значит? А это значит, что вот эти два угла, в сумме дают 180 градусов. Ведь сумма всех четырех углов этого четырехугольника 360. Эти две прямые забирают на себя 180, и на две оставшихся остается 180. Но вот эти два угла, тоже в сумме дают 180. Потому что они смежные. И значит вот этот угол и вот этот угол, равны. Потому что каждый из них, в сумме с углом, отмеченным двумя дужками, дает 180 градусов. Все, мы убедились, что действительно это так. Угол между плоскостями, равен углу между перпендикулярными им прямыми. Вот если удается, где-нибудь при решении конкретной задачи, заметить эти прямые то мы упрощаем все. Давайте, посмотрим какой-нибудь пример. Сразу понятно, чтобы тут не было иллюзий, что эта техника, далеко не всегда срабатывает. Но в задачах, где она срабатывает, получается просто гигантская экономия средств. Вот рассмотрим, такую задачу, пусть у нас имеется прямоугольный параллелепипед. Вот я его сейчас изображу, подпишу. Скажем A, B, C, D, A1, B1, C1, D1. Давайте возьмем какие-нибудь длины его сторон, скажем 4,3,6, неважно. Давайте возьмем какую-нибудь точку, скажем на ребре D1-C1, возьмем какую-нибудь точку K. Вот это вот единица, вот эта тройка. Теперь задача, которая на неподготовленного человека производит глубочайшего впечатление. Найти угол между плоскостью, скажем передней грани АА1 ВВ1 и плоскостью, проходящей через центр параллелепипеда, перпендикулярно прямой KB. Эту плоскость, даже себе вообразить трудно. И задача построения этой плоскости тяжеленная. В десятки раз сложнее, чем задачи, которые мы решаем. Еще ра, плоскость вторая, которую я назову гамма, например, она проходит через центр параллелепипеда, перпендикулярно прямой kb. Задача нарисовать эту плоскость, тяжела. Но вот угол между ней и не нарисованной плоскостью гамма, и плоскостью AA1 B1B, найти оказывается очень легко. Назову этот угол альфа. Вспомним опорную задачу, угол между плоскостями равен углу между перпендикулярными им прямыми. А какая-то прямая перпендикулярна плоскости гамма, прямая KB, по условию. Ведь плоскость гамма проводилось так, что быть перпендикулярной прямой kb. Поэтому этот угол, равен углу между прямой kb, но я напишу ее на втором месте, раз там плоскость гамма на втором. А теперь, давайте какую-нибудь прямую перпендикулярную плоскости AA1B1B, рассмотрим. Но таких прямых сразу бросается в глаза 4. Это четыре ребра, параллельных между собой в параллелепипеде и перпендикулярный этой плоскости. B1C1, A1C1, AD и BC. Что-то мне больше всего нравится bc. Понятно почему? Потому что она этот отрезок, с отрезком KB имеет общую точку p. Вот он угол альфа, оказывается. Вот он здесь. Но и найти угол между прямыми, проще чем между плоскостями. А в данном случае, это уж совсем примитивно. Потому что если я… Ну откуда ищут угол между двумя отрезками, выходящими из одной точки? Соединяют концы этих отрезков и получается треугольник. Из этого треугольника его ищут. Применяют там разные средства. Здесь средства простые. Дело ведь в том, что bc перпендикулярно задней грани dd1c, a прямая KC лежит в задней грани, поэтому получается, что bc перпендикулярно кc. Короче говоря, треугольник kbc, прямоугольный. Чтобы найти острый угол, надо знать в прямоугольном треугольнике, две стороны. Одну bc, мы знаем она 3, ну и наверное KC, легче найти по теореме Пифагора, это 6, а это 3. Значит получается, что KC2 =9+36=45, KC= 35. Теперь получается, что в прямоугольном треугольнике, мы знаем два катета и чтобы найти угол, надо взять и найти его тангенс или котангенс. Интересно, если попросить тысячу школьников, в таких ситуациях, искать угол, то наверное из тысячи, человек 990, напишут тангенса, а не котангенса. Вот так интересно жизнь устроена. "