Лекция 7 | Группы, действующие на окружности | Илья Алексеев

10.06.2023 — Псевдохарактеры (однородные квазиморфизмы) на группах: —— инвариантность при сопряжении —— ограничение на абелеву подгруппу является гомоморфизмом — Пространства Maps(G,R) всех функционалов, X(G) квазихарактеров, PX(G) псевдохарактеров и L^\infty(G) ограниченных функций на группе G — Асимптотическая эквивалентность —— устойчивость квазихарактеров при асимптотической эквивалентности —— единственность псевдохарактеров в асимптотическом классе — Усреднение квазихарактеров —— лемма Фекете о субаддитивных последовательностях —— проектор X(G) \to PX(G) и изоморфизм X(G) / L^\infty(G) = PX(G) Курс посвящен введению в науку о действиях (автогомеоморфизмами) групп на одномерных многообразиях. Его основная цель — освоить материал классической заметки "E. Ghys, Groups acting on the circle", попутно предоставляя экспозицию и восстанавливая необходимые детали. От слушателей предполагается уверенное знание общей теории групп и общей топологии. Нам также потребуются некоторые базовые понятия и результаты общей теории топологических групп, алгебраической топологии (гомотопическая эквивалентность, накрытия, фундаментальная группа), двумерной геометрии (гиперболическая плоскость), теории меры (мера Лебега) и функционального анализа (мера Хаара), которые будут напомнены. Упражнения к сюжетам и материалы, на основе которых излагаются эти сюжеты, доступны на страничке курса: https://exploring-geometric-topology.notion.site/2023-62a11495bc93401e9863c1ab7ff6a11f?pvs=4 Вот что пишет о своей заметке сам автор: Классическая теория динамических систем изучает структуру орбит гомеоморфизмов или потоков на многообразии, т.е. действий группы Z или R. Эта теория может быть обобщена на действия произвольной группы Γ на многообразии. В этих заметках предлагается обзор некоторых результатов, касающихся случая, когда группа Γ достаточно произвольна и многообразие является окружностью или вещественной прямой. Эта статья охватывает очень небольшую часть теории. Мы решили обсудить только топологический аспект: жаль, ведь теория групп гладких диффеоморфизмов так богата! Например, мы хотели бы обсудить так называемую "теорию уровней" вокруг теоремы Сакстедера или проблемы, связанные со структурной устойчивостью. Даже в ограниченной области топологической динамики эти заметки неполны: мы должны были обсудить хотя бы по крайней мере, замечательную классификацию convergence groups Тукиа, Кассона-Джунгрейса, Габаи [15, 24].. Автор надеется, что в ближайшем будущем он сможет написать достаточно полный обзор по этой области. Наша основная цель — обеспечить мотивацию для нашей работы о действиях решеток высших рангов на окружности [26]. В разделе 3 описаны некоторые важные примеры групповых действий на окружности. В разделе 4 рассматриваются некоторые основные топологические и алгебраические свойства группы гомеоморфизмов окружности. В разделах 5 и 6 мы описываем взаимодействие между классическим числом вращения и когомологическим инвариантом, задаваемым классом Эйлера. Вот отзыв из MathSciNet: Этот обзор действий групп на окружности хорошо написан и информативен. Основными темами являются: числа вращения, ограниченный класс Эйлера и действия решеток. Основное внимание уделяется топологической динамике; в частности, не рассматриваются вопросы дифференцируемости и аналитичности. Работа содержит многочисленные оригинальные доказательства и увлекательные обсуждения и будет интересна как научным работникам, так и студентам; от читателя требуется лишь некоторое знакомство с основами теории групп, теории меры, геометрии и топологии поверхностей, в частности, с понятием накрывающих пространств. Несмотря на то, что от читателя требуется очень мало предварительных знаний, в заметке удается довести читателя до границ современных исследований; в частности, ставится несколько интересных открытых проблем. Работа состоит из семи частей, начиная с краткого введения, некоторых определений и основных примеров. В разделе 4 рассматриваются теоретико-групповые и топологические аспекты группы Homeo_+(S^1) сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов окружности. В частности, показано, что: 1. с точностью до сопряженности группа вращений SO_2(R) является единственной максимальной компактной подгруппой группы Homeo_+(S^1); 2. вложение группы SO_2(R) в группу Homeo_+(S^1) является гомотопической эквивалентностью; 3. группа Homeo_+(S^1) является простой; 4. общая (в смысле Бэра) пара элементов из Homeo_+(S^1) порождает свободную группу. Также приводится классификация точных действий связных групп Ли на окружности. В разделе 5 дается элегантный обзор понятия числа вращения, его использования и ограничения (limitations) в описании динамики. Далее следует доказательство теоремы Маргулиса (гипотеза самого автора), что в то время как группа Homeo_+(S^1) не удовлетворяет альтернативе Титса, она удовлетворяет аналогичному свойству: каждая подгруппа либо содержит свободную группу ранга два, либо оставляет инвариантной вероятностную меру.