Арктангенс (арктангенс) | Как найти точное значение | (MathAngel369)

Арктангенс | Как найти точное значение 🖤Подпишитесь на этот канал: http://www.youtube.com/mathangel369 В этом обсуждении мы научимся вычислять значение обратных тангенсов. Ключевые моменты: (Перейдите к нужному вам фрагменту, если хотите.) 🔹Определение области определения (перейдите к 0:27) 🔹Единичная окружность (перейдите к 1:17) 🔹Область значений (перейдите к 3:10) 🔹Выбор значения (перейдите к 4:14) Давайте сначала рассмотрим несколько понятий, а затем вместе разберем наш пример. ◻️◻️◻️Понятия◻️◻️◻️ При работе с обратными тригонометрическими функциями, в частности, с обратным тангенсом, вы будете иметь уравнение вида: y = tan⁻¹(x). 🔷Обзор области определения Обратите внимание, что областью определения tan⁻¹(x) является множество всех x, для которых tan⁻¹(x) определен. Другими словами, областью определения можно считать все возможные «входные» значения. Где определен tan⁻¹(x)? Он определен на интервале: (-∞, ∞) Таким образом, мы говорим, что областью определения tan⁻¹(x) является: (-∞, ∞) Мы проверяем, удовлетворяет ли значение x области определения. Если значение x не удовлетворяет области определения, мы просто говорим, что решения нет. Если значение x находится в области определения, мы берём тангенс обеих сторон, чтобы получить: tan(y) = x 🔷Наблюдение за единичной окружностью Глядя на единичную окружность, вы увидите конечные точки в виде (a,b). Помните, что tan(y) принимает значение «b/a». Затем мы ищем все значения y такие, что tan(y) = x где x = b/a при заданных конечных точках (a,b). Как только мы найдём все значения y, мы рассматриваем область значений tan⁻¹(x). 🔷Наблюдение за областью значений В то время как область определения tan⁻¹(x) — это ваши возможные «входные» значения, область значений — это ваши возможные «выходные» значения. Область значений tan⁻¹(x) равна: (-π/2, π/2) что соответствует правой части единичной окружности, но не включает -π/2 или π/2. Более подробная информация об области определения и области значений здесь: График ArcTangent | Определение области определения и области значений https://www.youtube.com/watch?v=MYRc3cpHHmo 🔷Выбор значения Вы можете обнаружить, что существует несколько значений для y; однако мы должны выбрать значение y, которое удовлетворяет области значений. Теперь рассмотрим наш пример. ◻️◻️◻️Пример◻️◻️◻️ Допустим, у нас есть: y = tan⁻¹(-1) Вот шаги: 🔷Обзор области определения Обратите внимание, что областью определения tan⁻¹(x) является: (-∞, ∞) Поскольку x в нашем примере равно -1, мы знаем, что оно удовлетворяет области определения. Так как наше значение x находится в области определения tan⁻¹(x), мы берем тангенс от обеих сторон, чтобы получить: tan(y) = -1 🔷Обзор единичной окружности Рассматривая единичную окружность, мы ищем все значения y такие, что tan(y) = -1. Или иногда мне нравится спрашивать себя: «В какой точке единичной окружности tan(y) = -1?» Помните, нам нужно, чтобы tan(y) = b/a = -1, при заданных координатах (a,b). Это означает, что мы ищем координаты во втором или четвертом квадранте: (a,b) = (-√2/2), √2/2) и (a,b) = (√2/2), -√2/2) потому что b/a = -√2/2) / √2/2 = -1 и b/a = √2/2) / -√2/2 = -1 На единичной окружности у нас есть конечные точки: (a,b) = (-√2/2), √2/2) под следующими углами: 3π/4 (если мы движемся в положительном направлении) -5π/4 (если мы движемся в отрицательном направлении) и у нас есть конечные точки: (a,b) = (√2/2, -√(2)/2) при следующих углах: 7π/4 (если двигаться в положительном направлении) -π/4 (если двигаться в отрицательном направлении) Таким образом, когда: y = 3π/4, -5π/4, 7π/4 и -π/4 получаем: tan(3π/4) = √(2)/2 / √(2)/2 = -1 tan(-5π/4) = √(2)/2 / √(2)/2 = -1 tan(7π/4) = -√(2)/2 / √(2)/2 = -1 tan(-π/4) = -√(2)/2 / √(2)/2 = -1 🔷Рассматриваем диапазон значений Теперь мы не можем выбрать любое значение для y в нашем окончательном ответе. Мы должны учитывать диапазон значений tan⁻¹(x). Диапазон значений tan⁻¹(x) равен (-π/2, π/2) который представляет собой правую часть единичной окружности, но не включает -π/2 и π/2. 🔷Выбор значения Помните, что мы должны быть уверены, что наше значение y находится в пределах диапазона! Мы видим, что единственное значение в диапазоне: -π/4. Таким образом, мы выбираем -π/4. Следовательно, tan(-π/4) = -1 что означает, что -π/4 = tan⁻¹(-1), и мы говорим, что y = -π/4 На этом всё! Спасибо за просмотр! Нужны ещё примеры? Вот рекомендуемый плейлист с этого канала: 🎥Обратные тригонометрические функции https://www.youtube.com/playlist?list=PLr3YZlmqCWZSb-cLBgwoPG6zV00p4aIA_ 📝Вот моя статья в блоге, связанная с этим видео: http://www.mathangel369.com/blog/inverse-tangent-how-to-find-the-exact-value 🔑 Практика – ключ к успеху! Если вам нужны дополнительные примеры, практические задачи с ответами, тесты с ответами и многое другое по теме обратных тригонометрических функций, рассмотрите возможность прохождения моих математических