Лекция 3 | Группы классов отображений и их подгруппы | Александр Гайфуллин

Группа классов отображений ориентируемой двумерной поверхности S_g — это факторгруппа Mod(S_g) группы сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов поверхности на себя по подгруппе всех гомеоморфизмов, изотопных тождественному. Теория групп классов отображений замечательна тем, что она тесно связана с очень разными областями математики, в числе которых геометрия плоскости Лобачевского, группы кос, теория пространств модулей алгебраических кривых, трёхмерная топология, динамические системы, арифметические группы и многое другое. В рамках спецкурса я постараюсь сосредоточиться на некоторых комбинаторных и гомологических свойствах групп классов отображений и их подгрупп (важнейшей из которых является подгруппа Торелли I_g, состоящая из всех классов гомеоморфизмов, тривиально действующих на одномерных гомологиях поверхности), а также на их связях с инвариантами Рохлина и Кассона трёхмерных гомологических сфер. Программа 1. Теорема Дена — Нильсена — Бэра о связи группы классов отображений и группы внешних автоморфизмов фундаментальной группы поверхности. 2. МММ-классы (классы Мамфорда — Миллера — Мориты) в когомологиях групп классов отображений. 3. Действия групп классов отображений и их подгрупп на клеточных комплексах имеющих геометрическое происхождение: комплексе кривых, комплексе циклов и т. д. 4. Порождающие групп классов отображений и групп Торелли. 5. Инвариант Рохлина и гомоморфизмы Бирман — Крэггса I_g → Z/2Z. 6. Гомоморфизм Джонсона и строение абелизации группы Торелли. 7. Ядро гомоморфизма Джонсона и инвариант Кассона; алгебра Кассона — Мориты. Пререквизиты Предполагается, что слушателям курса знакомы понятия фундаментальной группы и группы одномерных гомологий поверхностей и их основные свойства. Также будет полезным (но не обязательным) некоторое предварительное знакомство с геометрией плоскости Лобачевского. 14 сентября — 14 декабря 2017 г., МИАН, ул. Губкина, д.8, ауд. 530, г. Москва