Функции | Часть 10 | Обратная функция | Основы построения графиков |23|

Обратная функция f(x) Обычно функция показывает, чему равно y, если известно, чему равно x. Обратная функция покажет, чему должно было быть равно x, чтобы получить это значение y. Функция f⁻¹ является обратной к f, если:  для каждого x из области определения f, f⁻¹[f(x)] = x, и  для каждого x из области определения f⁻¹, f[f⁻¹(x)] = x Область определения f — это область значений f⁻¹, а область значений f — это область определения f⁻¹. График обратной функции Обратная функция отличается от функции тем, что все x- координаты и y-координаты поменяны местами. То есть, если (4,6) — точка на графике функции, то (6,4) — точка на графике обратной функции. Точки на тождественной функции (y=x) останутся на тождественной функции, при перестановке. Все остальные точки поменяют свои координаты местами и переместятся. График функции и её обратной функции являются зеркальными отражениями друг друга. Они отражаются относительно тождественной функции y=x. Существование обратной функции Функция утверждает, что для каждого x существует ровно одно y. То есть значения y могут быть продублированы, но значения x не могут быть повторены. Если у функции есть обратная функция, которая также является функцией, то для каждого x может быть только одно y. Инъективная функция — это функция, в которой для каждого x существует ровно одно y, и для каждого y существует ровно одно x. Инъективная функция имеет обратную функцию, которая также является функцией. Существуют функции, у которых есть обратные функции, которые не являются функциями. Существуют также обратные отношения. В большинстве случаев мы их игнорируем и имеем дело только с функциями, у которых обратные функции также являются функциями. Если обратная функция также является функцией, то обратное отношение должно пройти тест вертикальной линии. Поскольку все x-координаты и y-координаты меняются местами при нахождении обратной функции, утверждение о том, что обратная функция должна пройти тест вертикальной линии, равносильно утверждению о том, что исходная функция должна пройти тест горизонтальной линии. Если функция проходит как тест вертикальной линии (так что она является функцией изначально), так и тест горизонтальной линии (так что ее обратная функция является функцией), то функция является взаимно однозначной и имеет обратную функцию. Тест горизонтальной линии Пусть f — функция. Если какая-либо горизонтальная линия пересекает график f более одного раза, то f не имеет обратной функции. Если ни одна горизонтальная линия не пересекает график функции f более одного раза, то f имеет обратную функцию. Свойство наличия обратной функции очень важно в математике, и у него есть название. Определение: Функция f является взаимно однозначной тогда и только тогда, когда f имеет обратную функцию. Следующее определение эквивалентно и является наиболее часто приводимым для взаимно однозначной функции. Это полезно для всех студентов, которые готовятся к вступительным экзаменам, которые проверят ваши знания основ высшей математики и математического анализа, в частности: 1. Основы для магистратуры по экономике 2. Семестровый экзамен, математические методы 3. Индийская экономическая служба