Целые и рациональные числа через теорию множеств

Введя натуральные числа (и, попутно, определив понятие счётности), следующий шаг кажется простым - определить целые числа. Но не все варианты наивного введения целых чисел позволяют доказать свойства операций с ними. В этом стриме я покажу три варианта и лишь один из них даст возможность доказать свойства сложения и умножения, а также привычных отношения порядка. После этого введение рациональных чисел оказывается элементарным делом, не требующим значительных усилий. Имея множество рациональных чисел можно аксиоматически ввести множество вещественных чисел, как показано в статье https://openarchive.nure.ua/server/api/core/bitstreams/84148581-94ec-4de9-a813-195309ccd801/content Таймкоды: Введение - о построении фундамента математики на основе теории множеств Определение неотрицательных чисел Конструирование целых чисел и отношение полного порядка на нём Второй вариант - сложение целых чисел через сложение натуральных чисел Третий вариант - иная форма фукнции следующего и предыдущего числа Проблема с индукцией и попытка её разрешения Сложение целых чисел Доказательство ассоциативности сложения Доказательство коммутативности сложения Умножение целых чисел Доказательство дистрибутивности умножения Доказательство ассоциативности умножения Доказательство коммутативности умножения Обычное сравнение целых чисел и доказательство линейного порядка Определение рациональных чисел и доказательство свойств операций с ними