Гравитационная потенциальная энергия между двумя массами, вывод U=-GMm/r.

В этом видео мы выводим потенциальную энергию гравитационного взаимодействия между двумя массами: U(r)=-GMm/r. 🧠 Доступ к полным курсам физики с видеолекциями и примерами доступен на сайте https://www.zakslabphysics.com/ Когда мы впервые познакомились с потенциальной энергией гравитационного взаимодействия, мы использовали формулу U=mgy для потенциальной энергии гравитационного взаимодействия вблизи поверхности Земли. Однако её необходимо обобщить для потенциальной энергии гравитационного взаимодействия между двумя точечными массами, в том числе когда объект взаимодействует с Землёй на больших расстояниях, что нарушает приближение «вблизи поверхности Земли». Это приводит к новой формуле для потенциальной энергии гравитационного взаимодействия на больших расстояниях. Чтобы найти общую формулу для потенциальной энергии гравитации, мы начнём с вычисления работы, совершаемой силой тяжести при перемещении массы m от начального до конечного расстояния от другой массы M. Во всех точках траектории сила тяжести определяется законом тяготения Ньютона: F_G=G*Mm/r^2. Поскольку сила тяжести меняется вдоль траектории, нам необходимо вычислить интеграл работы, совершаемой силой тяжести. Мы определяем интеграл работы как интеграл от r_1 до r_2 от F_G*dr, а скалярное произведение даёт знак минус. Завершаем интеграл нахождением первообразной от 1/r, и всё готово. Далее мы вспомним, что работа, совершаемая консервативной силой, равна отрицательному изменению потенциальной энергии. Мы алгебраически преобразуем результат интеграла работы, чтобы выразить его как отрицательную величину конечной потенциальной энергии за вычетом начальной потенциальной энергии, и это неявно определяет функцию потенциальной энергии для гравитации как U=-GMm/r. Отрицательная функция потенциальной энергии немного странна, поэтому мы исследуем график функции гравитационной потенциальной энергии. Мы видим, что гравитационная потенциальная энергия уменьшается по мере сближения двух объектов, что хорошо. Кроме того, мы исследуем предел функции потенциальной энергии при больших значениях r и видим, что он выравнивается до нуля. Таким образом, максимальное значение гравитационной потенциальной энергии равно нулю, но это нормально, поскольку для целей применения закона сохранения энергии нуль потенциальной энергии не имеет значения: физическими являются только изменения потенциальной энергии. Наконец, мы проверяем ответ для гравитационной потенциальной энергии, пытаясь найти силу через потенциальную энергию. Напомним, что одномерную силу можно получить из функции потенциальной энергии, взяв отрицательную производную от функции потенциальной энергии. Мы берем отрицательную производную от U(r) и получаем -GMm/r^2, что соответствует закону тяготения Ньютона, но со знаком минус, указывающим на уменьшение r.