Физические измеряемые. Часть 1

Лекция посвящена математическому аппарату квантовой механики — операторам в гильбертовом пространстве. Оператор вводится как правило, которое каждому вектору состояния ставит в соответствие другой вектор, что позволяет описывать изменение физической системы, в частности, в процессе измерения. Рассматриваются основные алгебраические свойства операторов: равенство, сложение, умножение на число и произведение как последовательное действие. Подчеркивается некоммутативность операторной алгебры, вводятся понятия коммутатора и антикоммутатора, а также возможность определения функций от оператора через ряды Тейлора. Теоретические положения иллюстрируются на двух важных примерах гильбертовых пространств: 1. Пространство столбцов (конечных и бесконечных), где оператором выступает матрица, а действие сводится к матричному умножению. 2. Пространство квадратично интегрируемых функций, где вводятся операторы умножения на координату и дифференцирования. Для них вычисляется коммутатор, демонстрирующий фундаментальное соотношение. Вводится понятие эрмитова сопряжения оператора через перестановку векторов в скалярном произведении (матричном элементе). Рассматриваются его свойства. Кульминацией лекции становится формулировка второго постулата квантовой механики: каждой измеряемой физической величине сопоставляется самосопряжённый (эрмитов) оператор. Лектор Александр Сергеевич Чирцов