Михаил Блудов, "Системы положительных сумм"

Комбинаторика и топология — совместный семинар ВШМ и лаборатории комбинаторных и геометрических структур ФПМИ МФТИ. Страница семинара https://old.mccme.ru/ium/s23/ryabichev/f25-mipt-topkomb.html Доклад 12 сентября 2025. Набор подмножеств множества чисел от 1 до n называется сбалансированным, если выпуклая оболочка соответствующих вершин булева куба имеет непустое пересечение с главной диагональю куба из 0 в [n]. Если же пересечение пустое, то такой набор называется несбалансированным. Этот комбинаторный объект возникает в самых разных областях математики, от кооперативных игр до квантовой теории поля, а задачи и вопросы, связанные со сбалансированными множествами, возникают самые разные занятные. Так, в 1986 году Manickam, Miklós и Singhi предположили, что при k достаточно меньших чем n, в любом максимальном несбалансированном наборе содержится хотя бы {n-1}\choose{k-1} k-элементных множеств. В статье A. Björner, Positive Sum Systems изучаются топологические свойства максимальных несбалансированных наборов. Помимо прочего, доказывается, что любой ЧУМ максимального несбалансированного набора является шеллинговым шаром с одной центральной точкой. На семинаре мы планируем обсудить этот и прочие результаты статьи, обсудим, как их можно обобщать, а также смежные результаты, наблюдения, задачи.