Применение теоремы Грина для вычисления интеграла

Мы применяем теорему Грина для вычисления интеграла от xdy до ydx по замкнутой круговой траектории. В видеоролике объясняется, как применять теорему Грина для вычисления замкнутого интеграла (00:00). В качестве примера демонстрируется вычисление интеграла от xdy до ydx по замкнутой круговой траектории, заданной уравнением x² + y² = a² (0:06-0:15). Преподаватель начинает с изложения формулы теоремы Грина (0:17-1:13), которая связывает линейный интеграл по замкнутой кривой (P dx + Q dy) с двойным интегралом по области, ограниченной этой кривой (∂Q/∂x - ∂P/∂y dx dy). Вот как теорема применяется в видео: 1. Определите P и Q: Сравнивая данный интеграл (x dy - y dx) с формулой теоремы Грина (P dx + Q dy), преподаватель определяет P как -y и Q как x (1:29-2:18). 2. Вычислите частные производные: Следующий шаг — вычислить ∂Q/∂x и ∂P/∂y (2:20-2:54). ∂Q/∂x = ∂/∂x (x) = 1 ∂P/∂y = ∂/∂y (-y) = -1 3. Составьте двойной интеграл: Подставляя эти значения в правую часть теоремы Грина, получаем ∫∫ (1 - (-1)) dx dy = ∫∫ 2 dx dy в области (3:42-4:00). 4. Вычислите двойной интеграл: Область 'R' определяется окружностью x² + y² = a², которая представляет собой просто площадь окружности (4:02-4:32). Следовательно, ∫∫ dx dy в этой области равно πa². 5. Окончательный результат: Интеграл равен 2 * (πa²) = 2πa² (4:35-5:53). В видео подчеркивается, что применение теоремы Грина в данном случае значительно упрощает вычисления, поскольку вычисление двойного интеграла намного проще, чем вычисление исходного линейного интеграла (3:30-3:42, 5:39-5:53).