пример видео на прозрачной доске

"Давайте научимся считать сумму первых n-членов арифметической прогрессии. Давайте сначала напишем, что именно мы хотим посчитать. a1+(a1+d)+(a1+2d)+.....+(a1+в(n-2))+(a1+d(n-1)). Так, что я тут написал? Я написал - это первый член, это второй, это третий. Плюс и так далее. Плюс предпоследний. Сейчас, я конкретно объясню, почему я написал предпоследний. И последний, который, вот мы знаем, есть такая формула, которая нам дает возможность написать, чему будет равен последний член n-членов арифметической прогрессии. Тут нужно воспользоваться таким трюком, который, вроде как помните, такая байка, про то как в школе, в которой учился Гаусс. Не знаю, если вы знаете, что Гаусс - это один из великих математиков. Как-то они себя очень плохо вели на уроке и учитель им сказал, вы посчитайте, по моему, сумму первых десяти тысяч чисел. Вот вам такое задание, пока не посчитаете, мы не будем ничего делать дальше. Все сели считать, например, 1 + 2 + 3 + 4 и так далее. Гаусс просто взял, подошел сразу к учителю с ответом, и говорит ответ такой. Учитель очень сильно удивился. Загадка в том, как он этого смог добиться. В чем идея? Идея в том, что давайте будем группировать как-то эти члены. Давайте возьмем сгруппируем первый с последним. Второй с предпоследним. Третий с предпредпоследним, третий с третьим с конца и так далее. Почему это сработает? Давайте сейчас это увидим. Что будет если мы сгруппируем первый с последним? У нас получится их сумма будет равна 2a1 + d(n-1). Давайте сгруппируем теперь второй, со вторым с конца. Их сумма будет равна 2a1 + d(n-1). На самом деле, что у нас будет, если подумать немного, то у нас все время, будет 2a1. Потому что каждый член, нужно писать как a1плюс что-то. Эта часть у всех будет. Поскольку мы тут движемся на один вперед, а тут движемся на один назад, то сюда мы будем к d прибавлять все время единицу. А а тут будем все время из d вычитать единицу, когда будем двигаться в эту сторону. Поэтому они друг друга. Такое слово can sell out, то есть они друг другу исключат. В итоге, мы везде будем получать d(n-1). То есть у нас эта сумма первого - последнего, второго - предпоследнего - это что-то такое, что никогда не меняется. Если говорить более серьезно математически, то она не инвариантна. Она не меняется. Как можно это знание использовать? Но дальше осталось посчитать, сколько у нас пар. Давайте пока считать, что членов чётное количество. То есть можно все-таки разбить на первый с последним, второй с предпоследним и так далее. Но у нас, если их всего n. То таких вот пар, мы можем сделать n пополам. И при этом в каждой паре, мы только, что поняли, что сумма будет равна равна вот этому. Можно написать это так. Если очень хочется написать через первые члены, через d. А можно просто сказать, что это будет (a1+an). На самом деле, это и есть формула суммы арифметической прогрессии. То что мы просто суммируем первый с последним и умножаем на количество пар. Пар получается n пополам. И тогда, таким образом, мы просуммируем всю эту прогрессию. Можно сказать, замечательно, а как нам делать со случаем, когда у нас нечетное количество. Такая тут магия, что эта формула подходит и даже тогда, когда на пары разбить не получается. То есть, мы можем, грубо говоря, вот этот ваш член, который оказался без пары, сгруппировать с самим собой. Поскольку мы делим на два, все сходится, в общем. Для вас можете просто запомнить, что можно думать, как будто бы их четное количество. Получается эта формула. После этого формула будет работать и для четных, и нечетных, для нечетного количества членов. "