Как вывести формулу частичных перестановок (размещений)

Вывод компактной формулы для частичных перестановок (размещений) не всегда очевиден. Спасибо автору этого поста за подсказку такого изложения: https://economybuilding.wordpress.com/2012/05/21/derivation-of-the-formula-for-a-permutation