023. Малый ШАД - Вокруг Базельской задачи: Бернулли, Эйлер, Риман - Андрей Соболевский

Базельская задача — это задача о нахождении суммы ряда обратных квадратов натуральных чисел. Верно ли, что ряд сходится и его сумма выражается каким-то простым выражением? Сходимость доказать нетрудно, но вот получить выражение для суммы безрезультатно пытались лучшие математики XVII века: Лейбниц, члены семьи Бернулли и, вероятно, Ньютон. Решить задачу удалось Леонарду Эйлеру: неожиданно оказалось, что ответ выражается через число пи. Чтобы вывести этот результат, Эйлер применил свой любимый технический приём — записал бесконечную сумму в виде бесконечного произведения. Мы разберёмся в решении Эйлера, обсудим, как оно связано с дзета-функцией Римана и какие ещё результаты на эту тему появились в математике за годы, отделяющие нас от Эйлера.