Функциональный анализ_16. Теорема Рисса о представлении линейного функционала_16.2. Ряды в гильбе...

Пусть $X$ — гильбертово пространство, а $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subset X$ — ортогональная система, т.е., \\ $\langle x_i, x_j \rangle = 0$ для всех $i \neq j$. Покажите, что следующие свойства эквивалентны: \begin{enumerate} \item[(i)] $\ds \sum_{n=1}^\infty x_n$ сходится.\pause \item[(ii)] $\ds \sum_{n=1}^\infty \|x_n\|^2$ сходится.\pause \item[(iii)] $\ds \sum_{n=1}^\infty x_n$ сходится слабо. (Как и в нормированных векторных пространствах, ряд называется (слабо) сходящимся в гильбертовом пространстве $X$, если соответствующая последовательность частичных сумм сходится (слабо) в $X$.)