06.10.20 | Пространства Соболева и пространства гладких функций на гильбертовом пространстве

Докладчик: д.ф.-м.н., профессор В.Ж. Сакбаев (МФТИ, Москва). Пространства Соболева и пространства гладких функций на гильбертовом пространстве, снабженном трансляционно инвариантной мерой. АННОТАЦИЯ. Для изучения случайных блужданий в гильбертовом пространстве последнее снабжается мерой, инвариантной относительно сдвигов. Под мерой понимается неотрицательная аддитивная функция множества, заданная на кольце подмножеств гильбертова пространства поскольку в силу теоремы Вейля меры Лебега на бесконечномерном пространстве не существует. Определяется пространство квадратично интегрируемых по трансляционно инвариантной мере функций и изучаются свойства операторов сдвига аргумента. Показано, что результатом усреднения операторов сдвига на случайный вектор с гауссовскими распределениями является полугруппа самосопряженных сжатий, разрешающая бесконечномерное уравнение диффузии. Установлен критерий сильной непрерывности полугруппы. С помощью введенной диффузионной полугруппы определяются пространства Соболева и пространство гладких функций на гильбертовом пространстве. Получены условия вложения и условия плотного вложения пространства гладких функций в пространство Соболева, приведены примеры нарушения плотности вложения. Speaker: Professor V. Zh. Sakbaev ( Moscow Institute of Physics and Technology, Moscow). Sobolev spaces and spaces of smooth functions on a Hilbert space equipped with a translationally invariant measure. ABSTRACT. To study random walks in a Hilbert space we endowed the last one with a shift invariant measure. According to Weyl's theorem, the Lebesgue measure does not exist in an infinite-dimensional Hilbert space. Thus a measure is considered as a non-negative additive function of a set defined on a ring of subsets of a Hilbert space. The space of functions that are integrable with respect to the translationally invariant measure is introduced and the properties of argument shift operators are studied. It is shown that the result of averaging of shift operators on a random vector with Gaussian distributions is a semigroup of self-adjoint compressions. This averaged semigroup resolves the infinite- dimensional diffusion equation. The criterion of strong continuity of a semigroup is established. Using the introduced diffusion semigroup, we define Sobolev spaces and the space of smooth functions on a Hilbert space. The conditions of embedding and conditions of dense embedding of the space of smooth functions into the Sobolev space are obtained, and examples of violation of the embedding density are given.